Keep 1.5°C alive : pourquoi ça compte ? Les notions-clés des systèmes dynamiques

Déc 3, 2021 | Climat

Corentin Gentil

Élève en M2 de mathématiques de la modélisation et équations aux dérivées partielles à l'Ecole normale supérieure. Intéressé par la physique du climat.
Pourquoi la limite des 1,5°C n'est-elle pas seulement politique mais aussi scientifique ? Si l’augmentation de la température moyenne du globe par rapport à l’ère pré-industrielle dépasse un certain seuil (estimé aujourd'hui à 1,5°C), le climat terrestre pourrait changer d'attracteur. Il s'agit d'une notion propre aux systèmes dynamiques, dont cette note fait l'objet.

Pour commencer, un système dynamique peut être vu simplement comme un système régi par des lois physiques. En voici quelques exemples :

  • Une bille qui tombe
  • Un objet posé sur le sol pendant une tempête
  • Une population au sein de laquelle se propage une épidémie (!!!)
  • Une planète avec des océans, une atmosphère, des terres, différents milieux qui interagissent entre eux, etc…

Étudier un système dynamique, c’est d’abord faire un travail de modélisation, pour savoir quels phénomènes on va prendre en compte et comment on va les modéliser. Une bille qui tombe, c’est assez simple : on prend en compte la gravité, et si on veut être plus précis, on prend en compte les frottements. La trajectoire peut être calculée simplement, et il n’y a pas grand chose à étudier une fois qu’on l’a déterminée.

1 Le calme après la tempête ? Effet de seuil et effet de non-retour

Pour le deuxième exemple, on peut déjà faire des remarques intéressantes. L’objet posé, disons une caisse, est soumis à trois forces : son poids, la force du vent (ça le pousse dans une direction), et le frottement avec le sol (qui le retient par rapport au vent). On peut comprendre ce qu’il se passe par une expérience de pensée. Si le vent n’est pas fort du tout, la caisse ne va pas bouger. C’est comme si vous soufflez sur votre lit, il ne va pas se mettre à bouger. En revanche, si le vent est très fort, la caisse peut se mettre à glisser sur le sol. Ce sera le cas si le vent dépasse une certaine vitesse : il y a donc un seuil. Le système aura alors changé d’état, on est passé d’une caisse au repos à une caisse en mouvement. 

Maintenant, que se passe-t-il si on diminue la vitesse du vent jusqu’à une vitesse inférieure à la vitesse « seuil » ? Et bien la caisse ne s’arrêtera pas tout de suite. En effet, la force de frottement est supérieure pour un objet au repos que pour un objet en mouvement, et donc même si on diminue la vitesse du vent, tant que l’objet bouge, la force de frottement restera inférieure à celle exercée par le vent. Il y a donc un effet de non-retour. Vous pouvez vous en convaincre en faisant l’expérience. Essayez de pousser un objet lourd : l’étape la plus dure est de le mettre en mouvement. Une fois qu’il a commencé à bouger, il suffit de pousser un peu moins fort pour que l’objet continue à bouger.

Pour la caisse dans la tempête, ça veut donc dire qu’une fois que le système a été perturbé suffisamment (le vent a soufflé assez fort), il change d’état (la caisse bouge) et ce n’est pas évident de le faire revenir à son état initial (caisse immobile), il faut que le vent se calme très nettement.

2 Vagues épidémiques : d’un état d’équilibre instable à un attracteur global

Un troisième exemple est la propagation d’une épidémie. Du point de vue de la modélisation, on étudie une population où l’on distingue trois catégories : les personnes infectées, catégorie I, les personnes qui peuvent être infectées, catégorie S, et celles qui ne peuvent pas l’être (car immunisées ou vaccinées), catégorie R. Les lois qui régissent ce système sont simples :

  • Une personne infectée peut contaminer une personne qui peut être infectée (logique !)
  • Une personne infectée peut guérir (elle est alors immunisée).

Donc on a deux phénomènes en compétition : d’une part des personnes de la catégorie S qui passent en catégorie I (des gens qui tombent malades), et d’autre part des personnes de la catégorie I qui passent en catégorie R (des gens qui guérissent). L’épidémie progresse si la quantité de personnes qui passent de S à I est plus grande que la quantité de personnes qui passent de I à R, et sinon elle régresse.

On a vu avec la COVID qu’il a suffi de quelques personnes qui attrapent le virus pour qu’il se propage au monde entier. Pourtant, initialement, quand personne n’était malade, l’état du système était stable : tout le monde était en catégorie S et il ne se passait rien. Donc une toute petite perturbation a, encore une fois, complètement changé l’état du système. On parle d’état d’équilibre instable.

Il y a là aussi un effet de seuil : selon la quantité de personnes qui sont immunisées, la maladie va progresser ou régresser. Donc dès qu’on passe un seuil dans la fraction de la population immunisée, la maladie régresse et arrête de se propager (c’est le but du vaccin : faire progresser très vite la fraction de population immunisée pour que la maladie ne se propage plus).

Pour comprendre ce qu’est un attracteur, il faut changer un tout petit peu notre modèle. Disons qu’une personne immunisée peut perdre son immunité (c’est le cas en pratique) ! Cela implique aussi un flux de personnes de la catégorie R vers la catégorie S.

En modélisant ça avec les bonnes équations, on obtient le graphique suivant qui met en valeur un magnifique attracteur :

Production de l’auteur

Tous les états du système convergent vers un même point d’équilibre très clair sur le graphique. Dans cet état d’équilibre, il y a une certaine proportion de la population qui peut être infectée (catégorie S), une certaine proportion de la population qui est infectée (I) et le reste est immunisé. Et peu importe l’état initial du système, il va systématiquement se diriger vers cet état d’équilibre (sauf si personne n’est malade), on parle d’attracteur global.

3 Keep 1.5°C alive : ne pas risquer que la machine-climat s’emballe

Vient finalement l’exemple qui nous intéresse : le climat sur Terre. Le phénomène principal qui pouvait faire changer l’état d’équilibre du système est historiquement la modification de l’orbite terrestre autour du soleil (on sait aujourd’hui qu’on est plus fort que le soleil, bravo à nous !). Cela perturbait un tout petit peu le système, mais une petite perturbation peut avoir de grosses conséquences (c’est d’ailleurs des systèmes dynamiques qu’est née l’expression « effet papillon ») et le climat changeait totalement sur Terre : on passait d’un âge glaciaire au climat d’aujourd’hui par exemple. Le climat d’aujourd’hui est un état d’équilibre stable, mais l’un des enjeux des recherches scientifiques sur le sujet est de mettre en avant une température à partir de laquelle le système change de trajectoire. C’est ce qu’il s’est passé il y a vingt mille ans quand on a quitté le dernier âge glaciaire. Tout le climat a changé.

L’un des points clefs des systèmes dynamiques est aussi qu’il n’y a pas toujours de retour en arrière possible (on parle en physique de non-réversibilité). On l’a vu avec la caisse dans la tempête (souffler un peu moins fort ne suffit pas forcément), et aussi avec le Covid : une personne malade change tout, et on ne revient pas en arrière, même en se confinant pendant des semaines !

Avec le climat, les scientifiques qui étudient les systèmes dynamiques mettent en garde contre la même chose. On peut perturber un peu le climat sans qu’il ne change radicalement (il y aura plus d’extrêmes, plus de feux, etc… mais le climat aura globalement la même allure), mais si on le perturbe au delà d’un seuil, la machine peut s’emballer de façon non-réversible et on ne sait pas quel sera l’état d’équilibre dans lequel il atterrira, l’objectif 1,5°C est d’éviter cela.

Note sur les illustrations d’en-tête

A gauche : le Soleil est couvert de tâches, qui varient au cours du temps, et qui sont l’une des variables prises en compte par les paléoclimatologues. Cette figure correspond au système dynamique qui décrit l’évolution de ces tâches (de l’énergie solaire). Cf. les travaux de Tobias et al, 1995.

A droite : l’attracteur de Lorenz provient d’un système dynamique qui modélise les conditions météorologiques. Il illustre très bien le chaos qui se cache derrière les prévisions météo !

Les illustrations ont été réalisées par l’auteur.

Pour aller plus loin

Un article sur un point de bascule : l’Amazonie, par Thomas Wagner, aka BonPote

Un article paru quelques jours avant la COP sur l’importance des 1.5°C

Un séminaire en ligne sur la dynamique du climat, par Valerio Lucarini, mathématicien (niveau ++ en maths)

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